1. Egyetlen egy ilyen szám van, a 3 816 547 290.

2. a) I. megoldás: 1991 = 11 ^. 181, és az összeg mindkét tagja osztható 11-gyel, illetve 181-gyel.

II. megoldás: használjuk az alábbi átalakítást!

1^.3^....^.1987^.1989 = (1991 – 1990)^.(1991 – 1988)^....^.(1991 – 4)^.(1991 – 2) =

1991^.K - 1990^.1988^....^.4^.2

b) Alkalmazzunk átalakítást az a) rész II. megoldásához hasonlóan!

3. Az első bolt 814, a második 1026, a harmadik 150 könyvet adott el.

4. A keresett szám fölírható A^.100 + 56 alakban. 56 | A^.100, így 14 | A, azaz A páros és osztható 7-tel, jegyeinek összege pedig 56-(5+6) = 45. A legkisebb olyan páros szám, amelyben a jegyek összege 45 a 199998, de ez nem osztható 7-tel. A következő a 289998, majd a 298998. Ez utóbbi osztható csak 7-tel. Tehát a keresett szám a 29899856.

5. a) Nem lehetünk biztosak benne. Ha például a tábla 28 szélső mezőjén vannak a bábúk, akkor nem tudunk elvenni belőlük úgy, hogy minden sorban és oszlopban csak 1-1 maradjon. b) Biztosak lehetünk benne. Tekintsük ugyanis azokat a zárt töröttvonalakat, amelyek csúcsai a bábúk, oldalai pedig felváltva a sorokkal, illetve az oszlopokkal párhuzamosak. Minden ilyen töröttvonalnak páros sok csúcsa van. Ha a töröttvonalak minden második csúcsánál elhelyezett bábút levesszük, akkor minden sorban és oszlopban 1-1 bábú marad.

6. A bűvös négyzetet meghatározza három eleme (az ábrán a, b és c). Ezek segítségével könnyen ellenőrizhető algebrai azonosság alakjába írható át az állítás.

7. A második játékos győz. Stratégiája: ellenfele által behúzott élnek a tábla középpontjára vonatkozó szimmetrikus képét húzza be.

8. Ha mind az 1990 sorban előfordul (-1)-es, akkor nyilvánvalóan teljesül az állítás. Egyébként tekintsük azt a legelső sort, amelyben nincs (-1)-es! Ha ez a k-adik, akkor a (k-1)-edik sorban szükségképpen mind az 1991-(k-1) szám (-1)-es. Az ezt megelőző (k-2) sor mindegyikében pedig legalább egy (-1)-es szerepel. Ez így már legalább 1991-(k-1) + (k-2) = 1990 db (-1)-es.

9. a) Nem. Vegyük észre, hogy a és b legnagyobb közös osztója megegyezik (a-b) és a, illetve a és (b-a) legnagyobb közös osztóival. Tehát a szabály nem köt ki semmit olyan pontokról, amelyekben a két koordináta legnagyobb közös osztója különböző. b) Igen. Mindkét pont ugyanolyan színű, mint a (0; 13) pont.

10. Mindkét esetben el lehet végezni a mérést. a) Az első két mérésnél nem használunk súlyokat, hanem a lisztet megfelezzük a mérleg két serpenyőjében. Így először 4500-4500 g lisztet kapunk, majd az egyik fél megfelezésével 2250-2250 g-os adagokat kapunk. Ezek közül az egyikből lemérünk 250 g-ot és megkapjuk a kívánt mennyiséget. b) Ha fölrakjuk a 200 g-os súlyt az egyik serpenyőbe és az összes lisztet elosztjuk a két serpenyőben, hogy kiegyenlítsék egymást, akkor a "súlyos” serpenyőben 4400, a másikban 4600 g liszt lesz. A 4400 g-nyi liszt megfelezésével, majd 200 g liszt elvételével a kívánt mennyiséghez jutunk.

11. Használjuk fel a háromszög területképletét!

12. 987 654 321 – 123 456 789 = 864 197 532.

13. 9. Kezdjük a végén! Ha N az unokák száma, akkor az N-edik unokának N, az (N-1)-edik unokának pedig (N-1) + N/9 almát jutott. A kapott almák egyenlőségéből N = 9 adódik.

14. 378. Ha a 10 számjegyből kiválasztunk 5-öt, akkor ezekből pontosan egy csökkenő "Menő” telefonszámot készíthetünk. Ezek száma tehát

A növekvő "Menő” számokban nem lehet 0, ezért ezek száma

15. n = 1, és n = 3.

16. 267-féleképpen. A középső "V” betűt kell elhagyni, hogy 145 lehetőség maradjon.

17. Még 3 traktorra van szükség. Ha kezdetben a traktorok száma t volt, a szükséges napok száma n, akkor

15^.t^.n = 300.

Az újabb traktorok segítségével 6 nappal gyorsabban kellene végezni, azaz

15^.(t + u)^.(n – 6) = 300,

ahol u jelöli az újonnan hozandó traktorok számát. Az egyenletekben n és (n – 6) a 20 olyan pozitív osztói, melyek különbsége 6, tehát a 10 és a 4. Ezért t és (t + u) 2 illetve 5, azaz még 3 traktorra van szükség.

18. Két esetet kell megkülönböztetni. Vagy NBMvagy MNB (vagy ezzel ekvivalensen NMB) a 60^o-os. Az első esetben a szögek számolásával igazolható az ABN és DBM háromszögek egybevágósága. A második esetben megkeressük az AB szakasz-nak azt a K pont-ját, amelyre AK = AN. Most a DNM és KBN háromszögek egybevágóságát lehet igazolni.

19.

A A kp-ú AB sugarú kör bármely pontja -négy pont kivételével- és még további 6 pont jó, amint az a 17. ábrán látható. (Részletesebben lásd a Bergengóc példatárban a 82. feladat megoldását, a 152- 153. oldalakon!)

20. Az egyes kupacokban található gyufák száma az optimális esetben: 1, 14, 27, 40, 53, 65.

21. Jelölje a_i (i = 1, 2, ..., 8) az i-edik sorban álló bástya oszlopának számát. A feladat megoldása az 1^.a₁ + 2^.a₂ + ... + 8a₈ = 8^.(9 – a₁) + 7^.(9 – a₂) + ... + 1^.(9 – a₈)

egyenlőség igazolásából áll.

22.

Lásd a 18. ábrát! Részletesebben lásd a Bergengóc példatárban a 64. feladat megoldását a 124-126. oldalakon.

23. Csak egy olyan számpár van, ami megfelel mind a három feltételnek: 1 814 460, 1 814 340.

24. Bizonyítsd és használd a következő segédtételt: a trapéz hosszabbik alapjának és egyik szárának összege nagyobb, mint a rövidebbik alap és a másik szár összege!

25. Ez a szám az 1991.

26. Tegyük fel, hogy m-szer vágtuk a papírt 6-felé és n-szer 12-felé, és így összesen N papírdarabot kaptunk. Mivel minden ilyen vágásnál 5-tel, illetve 11-gyel nőtt a darabok száma, így 1 + 5m + 11n = N. Ezt az egyenletet kell vizsgálni N = 40, illetve N ³ 41 esetén.

27. Az öt szám: (-3); 2; 4; 5; 8.